/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Logarytmiczne

Zadanie nr 7955372

Wykaż, że jeżeli a,b ∈ (0,1) ∪ (1,+ ∞ ) , to

|lo gab + logb a| ≥ 2.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Obie strony nierówności, którą mamy udowodnić są dodatnie, więc możemy ją stronami podnieść do kwadratu (to najprostszy sposób pozbycia się wartości bezwzględnej) i otrzymamy nierówność

(loga b+ lo gb a)2 ≥ 4

równoważną wyjściowej. Zauważmy jeszcze, że na mocy wzoru na zmianę podstawy logarytmu

lo gaa 1 lo gb a = ------= ------, lo gab logab

więc nierówność, którą mamy udowodnić jest równoważna nierówności

( ) 2 log b + ---1-- ≥ 4. a loga b

Sposób I

Przekształcamy lewą stronę nierówności.

( ) 2 ( ) 2 log b + --1--- = (log b)2 + 2 + --1--- = a loga b a loga b ( ) 2 ( ) 2 = (log b)2 − 2 + --1--- + 4 = log b − --1--- + 4 ≥ 4. a loga b a loga b

Sposób II

Podstawiamy t = log b a i przekształcamy nierówność.

( ) ( ) 1 2 1 2 (t2 + 1 )2 loga b + ------ − 4 = t+ -- − 4 = ----2----− 4 loga b t t t4 + 2t2 + 1 − 4t2 t4 − 2t2 + 1 (t2 − 1 )2 = --------t2--------= -----t2------= ---t2----≥ 0.
Wersja PDF