/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Logarytmiczne

Zadanie nr 8188153

Wykaż, że jeżeli x > 1, y > 1 i z > 1 , to logx z+ lo gyz ≥ 4⋅logxy z .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność – zamieniamy podstawy wszystkich logarytmów na z . Po drodze będziemy korzystać z tego, że x ,y,z > 1 , co oznacza, że logarytmy z tych liczb są dodatnie.

logx z+ logy z ≥ 4 ⋅logxy z 1 1 4 ------+ ------≥ --------- logzx logzy logz(xy ) log x + log y 4 ---z--------z--≥ --------------- logz xlogz y lo gzx + logz y (lo g x + log y)2 ≥ 4log x log y z 2 z 2 z z (lo gzx) + (logz y) + 2logz xlogz y ≥ 4logz x logz y (lo g x)2 + (log y)2 − 2log xlog y ≥ 0 z z z z (lo gzx − logz y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, z przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność – zamieniamy wszystkie logarytmy na dziesiętne. Po drodze będziemy korzystać z tego, że x ,y,z > 1 , co oznacza, że logarytmy z tych liczb są dodatnie.

lo gxz + logy z ≥ 4 ⋅lo gxyz lo gz lo gz 4log z -----+ -----≥ -------- / : log z lo gx lo gy log(xy ) 1 1 4 lo-gx-+ lo-gy-≥ log(xy-) lo-gx-+-log-y-≥ -----4------- logx log y lo gx + log y 2 (log x + log y) ≥ 4log x log y (log x)2 + (logy )2 + 2 log xlog y ≥ 4 log x lo gy (log x)2 + (logy )2 − 2 log xlog y ≥ 0 2 (log x − log y) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, z przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF