Zadanie nr 7985978

Oblicz granicę ( √n+-3√n- √n-−2√3n-) nl→im+∞ 3√n+ 2 − 3√n− 1 .

Rozwiązanie

Sposób I

Liczymy

( √n--+ √3n-- √n-− 2√3n--) lim -3√--------− -√3-------- = n→+ ∞ (√n-+ 2√ -) (√ n-− 1) (√ -- √ -) (√ -- ) n + 3n 3n − 1 − n − 2 3 n 3 n + 2 = lim --------------(3√------)-(3√------)--------------- n→ + ∞ n + 2 n −( 1 ) √ -√3-- √ -- 3√ -2- 3√ -- √ --3√ -- √ -- √3--2 3√ -- --n--n-−---n-+----n-−----n-−----n---n-+-2--n-−-2--n--−-4---n-- = n→lim+ ∞ (√3n--+ 2) (√3n--− 1) √ -- √3--- √ -- −-3--n-+-3--n-2 +-3-3-n = n→lim+ ∞ (√3n--+ 2 )(√3n--− 1) .

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez √ --- √ -- √ -- 3n 2 = 3 n ⋅ 3 n .

-- √ --- -- − 3√ n + 3 3 n2 + 3 3√ n − 6√3n-+ 3+ 3√3n- 3 lim -(-3√------)(√3------)--= lim (--------)(--------)-= --= 3 . n→ +∞ n+ 2 n− 1 n→+ ∞ 1 + 23√n- 1− 3√1n- 1

Sposób II

Jeżeli nie mamy ochoty przekształcać wyrażenia z pierwiastkami, to możemy podstawić √6 -- t = n . Jeżeli n → ∞ , to też t → ∞ i mamy

( √ -- √3-- √ -- √3--) ( 3 2 3 2) lim -√n-+---n-− --n√-−-2--n- = lim t-+--t-− t-−-2t-- = n→ +∞ 3n + 2 3 n− 1 t→ ∞ t2 + 2 t2 − 1 (t3 + t2)(t2 − 1) − (t3 − 2t2)(t2 + 2) = lim ------------2-------2--------------- = t→ ∞ (t + 2)(t − 1) t5 − t3 + t4 − t2 − (t5 + 2t3 − 2t4 − 2t2) 3t4 − 3t3 + 3t2 = lim --------------2-------2-----------------= lim --2-------2-----. t→ ∞ (t + 2)(t − 1) t→ ∞ (t + 2)(t − 1)

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez t4 = t2 ⋅ t2 .

3t4 − 3t3 + 3t2 3 − 3t + t32 3 − 0 + 0 tli→m∞ (t2 +-2-)(t2-−-1)-= lt→im∞ (-----2)-(-----1)- = ---1-⋅1---= 3. 1+ t2- 1− t2-

Odpowiedź: 3