/Studia/Analiza/Ciągi/Granice/Z pierwiastkami/Stopnia n

Zadanie nr 6039993

Oblicz granicę ∘n-1------------------- nl→im+∞ n2 ⋅4n + n ⋅3n + 5n 3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Typowe zadanie na 3 ciągi. Będziemy chcieli oszacować wyraz ciągu z góry i z dołu, korzystając z tego, że √ -- lim n n = 1 n→ + ∞ . Jeżeli popatrzymy na wyrażenie pod pierwiastkiem, to widać, że dominujący (najszybciej rośnie) jest tam składnik n 4 . No to wiadomo co trzeba zrobić.

∘ ----- ∘ --------------------- ∘ -------------------- n -1-4n < n -1-⋅4n + n ⋅3n + 5n 3 < n n34n + n 34n + n34n ∘n-2- ∘ -n2------------------ 1 1 n√ ---- 4 n--2 < n -2-⋅4n + n ⋅3n + 5n3 < 4 3n3. n n

Skrajne ciągi zbiegają do 4, więc taka sama jest granica środkowego ciągu.  
Odpowiedź: 4

Wersja PDF