Zadanie nr 2709020
Wyznacz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w asymptotach wykresu funkcji , a trzeci bok zawiera się w stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
.
Rozwiązanie
Na początku musimy wyznaczyć te asymptoty i styczną. Ponieważ
![3x − 4 3x − 4 lim ------- = lim ------- = 3. x→ +∞ x − 2 x→ −∞ x − 2](https://img.zadania.info/zad/2709020/HzadR0x.gif)
funkcja ta ma jedną asymptotę poziomą . Ponadto jest asymptota pionowa
. Możemy teraz naszkicować wykres funkcji
.
Aby wyznaczyć styczną, liczymy pochodną
![f′(x) = 3(x-−-2-)−-(3x-−--4) = ---−-2---. (x − 2)2 (x − 2)2](https://img.zadania.info/zad/2709020/HzadR5x.gif)
Zatem i styczna do wykresu w punkcie
ma postać
. Współczynnik
obliczamy z warunku, że punkt
należy do wykresu.
![1 = −2 + b ⇒ b = 3.](https://img.zadania.info/zad/2709020/HzadR11x.gif)
Ponieważ prosta przecina proste
i
w punktach
i
odpowiednio, interesujący nas trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości 2 i 4. Zatem ma pole
![1 --⋅2 ⋅4 = 4. 2](https://img.zadania.info/zad/2709020/HzadR17x.gif)
Odpowiedź: 4