/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Asymptoty/Wymierna

Zadanie nr 3547558

Określ dziedzinę i wyznacz równania wszystkich asymptot wykresu funkcji 2 f (x) = x-+x4−x+2-5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dziedziną jest zbiór R ∖ {2} . Jeżeli zapiszemy wzór funkcji w postaci

2 f(x) = (x-−--2x)-+-(6x-−-12)-+-17-= x + 6 + --17--, x− 2 x − 2

to widać, że dla x = 2 mamy asymptotę pionową (granice lim− f(x) x→2 i lim f(x) x→2+ są niewłaściwe). Jednocześnie widać, że nie ma asymptot poziomych, bo lim f (x) = + ∞ x→ +∞ i lim f (x) = − ∞ x→ −∞ . Pozostało sprawdzić czy nie ma asymptot ukośnych. Najpierw liczymy granice

( ) a+ = lim f(x-) = lim 1 + 6-+ ---17---- = 1 x→ +∞ x x→ +∞ x x(x − 2) f(x ) ( 6 17 ) a− = lim ----- = lim 1 + --+ --------- = 1. x→ −∞ x x→ −∞ x x(x − 2)

Teraz liczymy granice

( 17 ) b+ = lim (f (x)− a+x ) = lim 6+ ------ = 6 x→ +∞ x→ +∞ ( x − 2) 17 b− = xl→im−∞ (f (x)− a−x ) = xl→im−∞ 6+ x-−-2- = 6.

Jest zatem jedna asymptota ukośna y = x + 6 .

Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji f(x) .

PIC

 
Odpowiedź: x = 2 i y = x + 6

Wersja PDF