/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Funkcje hiperboliczne

Zadanie nr 2558513

Oblicz ∫ 2 sin h xdx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru

1 cosh2x = 1 + 2 sinh 2x ⇒ sinh2 x = --(cosh 2x− 1). 2

Mamy więc

∫ 2 1 ∫ 1 x sinh xdx = -- (cosh 2x − 1)dx = --sin h2x − --+ C . 2 4 2

Sposób II

Całkujemy przez części i korzystamy z jedynki hiperbolicznej 2 2 cosh x − sinh x = 1 .

| | ∫ 2 |u = sin h x v′ = sinh x| I = sinh xdx = ||u′ = cosh x v = cosh x|| = ∫ ∫ = sin hx cosh x − co sh2xdx = sinh x cosh x− (1+ sin h2x)dx = = sin hx cosh x − x − I.

Zatem

1 x 2I = sinh x cosh x− x ⇒ I = -sinh x cosh x− -. 2 2

 
Odpowiedź: 1 x 1 x 4 sin h2x − 2 + C = 2 sinh x cosh x− 2 + C

Wersja PDF