/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Oblicz pochodną/Cyklometryczne

Zadanie nr 9133877

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Korzystając ze wzoru ′ (co sx) = sinx oblicz pochodną funkcji f(x ) = arccosx .

Rozwiązanie

Sposób I

Różniczkujemy stronami równość

cos(a rcco sx) = x

korzystając z podanego wzoru na pochodną sinusa i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

′ co s(arccosx) = x / () − sin (arccosx )⋅(arccos x)′ = 1 (arccos x)′ = − ------1------. sin (arccosx )

Aby uprościć prawą stronę zauważmy, że jeżeli y = arccos x to cosy = x oraz y ∈ [0,π ] . To oznacza, że sin y ≥ 0 i

∘ ---------- 2 ∘ -----2- siny = 1 − cos y = 1 − x .

Zatem

1 1 1 (arcco sx)′ = − ------------- = − -----= − √-------. sin(arccos x) sin y 1− x2

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

− 1 ′ --1---- (f (y 0)) = f′(x ), gdzie y 0 = f(x0) 0

na pochodną funkcji odwrotnej.

Jeżeli oznaczmy g(x) = cos x to −1 x 0 = g (y 0) = arccosy0 i na mocy powyższego wzoru mamy

(arccos y0)′ = (g−1(y 0)) = --1----= − ---1--. g′(x0) sin x0

Tak jak w pierwszym sposobie zauważamy, że

∘ ----------- ∘ ------- sinx 0 = 1 − cos2 x0 = 1 − y2. 0

Zatem

1 (arccos y0)′ = − ∘-------. 1 − y20

Zamieniając literkę z y0 na x otrzymujemy ′ √-1--- (arccosx ) = − 1−x2 .  
Odpowiedź: f′(x) = − √11−x2-

Wersja PDF