/Szkoła średnia/Zadania testowe/Liczby/Potęgi i pierwiastki/Pierwiastki/Wyższego stopnia bez ułamka

Zadanie nr 2717757

Wartość wyrażenia (√ -- ) 3 (√ -- ) 3 2 + 1 + 2 − 1 jest równa
A) 14 B) 7 C) √ -- 5 2 D) √ -- 10 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na sześcian sumy i sześcian różnicy

3 3 2 2 3 (a+ b ) = a + 3a b+ 3ab + b (a− b )3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3.

Mamy zatem

(√ -- ) 3 ( √ -- )3 2 + 1 + 2− 1 = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- = (2 2+ 3⋅2 + 3 2 + 1 )+ (2 2− 3 ⋅2 + 3 2 − 1) = 10 2.

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów

3 3 2 2 a + b = (a + b)(a − ab + b ).

Zauważmy najpierw, że w naszej sytuacji √ -- a = 2+ 1 i √ -- b = 2− 1 , więc

√ -- √ -- √ -- a + b = ( 2+ 1)+ ( 2− 1) = 2 2 √ -- √ -- ab = ( 2+ 1)( 2− 1) = 2 − 1 = 1

i wzór na sumę sześcianów przyjmuje postać

3 3 2 2 √ -- 2 a + b = (a+ b )(a − ab + b ) = 2 2((a+ b) − 3ab) = √ -- √ -- = 2 2(8− 3) = 10 2 .

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF