Zadanie nr 4598122

Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem

S = --1--⋅(6n − 4n ) n 2n− 1

dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Trzeci wyraz ciągu jest równy 28.	P	F
Wśród wyrazów ciągu jest liczba 2025.	P	F

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

Sn = --1--⋅(6n − 4n ) = 2⋅ 1--⋅(6n − 4n) = 2n−(1 ) 2n 6n- 4n- n n = 2⋅ 2n − 2n = 2 ⋅(3 − 2 ).

To oznacza, że wszystkie wyrazy ciągu (S ) n są liczbami parzystymi. Wyrazy ciągu (an) też muszą więc być liczbami parzystymi:

a1 = S 1 an = Sn − Sn−1 dla n ≥ 2.

Nie ma więc wśród wyrazów ciągu (an) liczby 2025. Ponadto

a 1 = S1 = 2(3 − 2) = 2 S 2 = a1 + a2 ⇒ a2 = S2 − a1 = 2(9 − 4) − 2 = 10− 2 = 8 S 3 = S2 + a3 ⇒ a3 = S3 − S 2 = 2(27 − 8)− 10 = 38 − 10 = 28.

Odpowiedź: P, F