Zadanie nr 4598122
Ciąg jest określony dla każdej liczby naturalnej
. Suma
początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem
![S = --1--⋅(6n − 4n ) n 2n− 1](https://img.zadania.info/zad/4598122/HzadT3x.png)
dla każdej liczby naturalnej . Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.
Trzeci wyraz ciągu ![]() | P | F |
Wśród wyrazów ciągu ![]() | P | F |
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że
![Sn = --1--⋅(6n − 4n ) = 2⋅ 1--⋅(6n − 4n) = 2n−(1 ) 2n 6n- 4n- n n = 2⋅ 2n − 2n = 2 ⋅(3 − 2 ).](https://img.zadania.info/zad/4598122/HzadR0x.png)
To oznacza, że wszystkie wyrazy ciągu są liczbami parzystymi. Wyrazy ciągu
też muszą więc być liczbami parzystymi:
![a1 = S 1 an = Sn − Sn−1 dla n ≥ 2.](https://img.zadania.info/zad/4598122/HzadR3x.png)
Nie ma więc wśród wyrazów ciągu liczby 2025. Ponadto
![a 1 = S1 = 2(3 − 2) = 2 S 2 = a1 + a2 ⇒ a2 = S2 − a1 = 2(9 − 4) − 2 = 10− 2 = 8 S 3 = S2 + a3 ⇒ a3 = S3 − S 2 = 2(27 − 8)− 10 = 38 − 10 = 28.](https://img.zadania.info/zad/4598122/HzadR5x.png)
Odpowiedź: P, F