Zadanie nr 1255784
Wykazać, że jeśli równanie liniowe w
, ma dwa różne rozwiązania, to ma ich nieskończenie wiele.
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli i
są dwoma różnymi rozwiązaniami, to
![A (x − x ) = A (x ) − A (x ) = b − b = 0 ⇒ x − x ∈ kerA . 1 2 1 2 1 2](https://img.zadania.info/zad/1255784/HzadR2x.gif)
Ponieważ jądro jest podprzestrzenią liniową i jest niezerowe, więc jest nieskończone. Zatem każdy wektor postaci , gdzie
spełnia:
![A (x + k) = A (x ) + A (k) = b+ 0 = b. 1 1](https://img.zadania.info/zad/1255784/HzadR5x.gif)
Sposób II
Jeżeli układ równań ma rozwiązania, to jest ich dokładnie tyle samo co rozwiązań odpowiadającego układu jednorodnego . Rozwiązania układu jednorodnego tworzą podprzestrzeń liniową i jeżeli zawiera ona dwa różne punkty to jest nieskończona.
Sposób III
Jeżeli i
są dwoma różnymi rozwiązaniami równania
, to dla dowolnego
mamy
![A (x1 + r(x2 − x1)) = A (x1)+ rA(x 1)− rA (x2) = b + rb − rb = b .](https://img.zadania.info/zad/1255784/HzadR11x.gif)
Zatem dowolny wektor postaci też jest rozwiązaniem układu.