/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Sklejana z kilku funkcji/Inne

Zadanie nr 2053108

Dana jest funkcja f określona wzorem { f(x) = ||x− 2|− 4| dla x < 0 x − 1 dla x ≥ 0
Równanie f(x ) = 2 ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania. C) cztery rozwiązania. D) pięć rozwiązań.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Rozwiązujemy najpierw równanie

||x− 2|− 4| = 2 |x − 2|− 4 = − 2 lub |x− 2|− 4 = 2 |x − 2| = 2 lub |x− 2| = 6 x − 2 = −2 lub x− 2 = 2 lub x − 2 = − 6 lub x − 2 = 6 x ∈ { 0,4,− 4,8}.

Tylko x = − 4 spełnia nierówność x < 0 , więc w tym przypadku jest to jedyne rozwiązanie równania f(x) = 2 .

Rozwiązujemy teraz drugie równanie

x − 1 = 2 ⇒ x = 3

Liczba ta spełnia nierówność x ≥ 0 , więc dane równanie ma 2 rozwiązania.

Sposób II

Zauważmy, że jeżeli x < 0 , to

||x− 2|− 4| = | − (x − 2) − 4| = |− x − 2 | = |x + 2|.

Zatem wzór funkcji możemy zapisać w postaci

{ |x + 2| dla x < 0 f(x) = x− 1 dla x ≥ 0

Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie stwierdzamy, że równanie x − 1 = 2 ma jedno rozwiązanie, więc pozostaje równanie

|x + 2| = 2 x+ 2 = − 2 lub x + 2 = 2 x = − 4 lub x = 0 .

Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunek x < 0 .

Sposób III

Tak samo jak w poprzednim sposobie stwierdzamy, że

{ f(x) = |x + 2| dla x < 0 x− 1 dla x ≥ 0

Szkicujemy teraz wykres funkcji f .

PIC

Z wykresu widać, że równanie f (x) = 2 ma dokładnie dwa rozwiązania.  
Odpowiedź: B

Wersja PDF