/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Trygonometryczna/Wartość wyrażenia/Z literką

Zadanie nr 3770292

Zbiorem wartości funkcji f (x) = sinx + co sx , gdzie x ∈ R , jest przedział
A) ⟨− 1,1⟩ B) √ -- √ -- ⟨− 2 , 2⟩ C) ⟨ √2- √2⟩ − 2 , 2 D) ⟨− 2,2⟩

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy

sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α.

Mamy zatem

( √ -- √ -- ) √ -- 2 2 f(x) = sin x+ cosx = 2⋅ ----sin x + ----cos x = ( 2 ) 2 √ -- π- π- = 2 sin x⋅ cos 4 + sin 4 ⋅cos x = √ -- ( π ) = 2 sin x+ 4- .

Ponieważ

( ) sin x + π- ∈ ⟨− 1,1⟩, 4

zbiorem wartości funkcji f jest przedział

√ --√ -- ⟨− 2, 2⟩.

Sposób II

Korzystamy ze wzorów

(π ) cos α = sin -- − α 2 α+--β- α-−--β sin α+ sin β = 2 sin 2 cos 2

Mamy zatem

( ) f(x) = sin x + cos x = sinx + sin π-− x = 2 x+--π2-−-x- x-−-π2-+--x = 2sin 2 cos 2 = π ( π ) √ -- ( π ) = 2sin --cos x − -- = 2co s x − -- . 4 4 4

Zbiorem wartości funkcji f jest więc przedział

⟨− √ 2,√ 2⟩.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF