/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Trygonometryczna/Wartość wyrażenia/Bez ułamka

Zadanie nr 2670951

Liczba 2 ∘ sin (75 ) jest równa
A) √ - − --3 2 B) √ - 2+--3 4 C) 1 2 D) 2−-√3 4

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów

2 cos2 α = 1 − 2 sin α cos(180∘ − α ) = − cos α.

Z pierwszego z tych wzorów mamy

sin2α = 1-−-cos-2α. 2

Stąd

sin 2(75∘) = 1-− 1co s150∘ = 1-− 1-cos(180 ∘ − 3 0∘) = 2 2 2 √2-- √ -- 1 1 1 3 2 + 3 = --+ -co s30∘ = --+ ----= -------. 2 2 2 4 4

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru

sin(x + y) = sin xco sy + siny cos x

na sinus sumy. Mamy zatem

sin 75∘ = sin (45∘ + 30∘) = sin 45∘co s30∘ + sin30 ∘cos 45∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- --2- --3- 1- --2- --6-+---2- = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 4 .

Stąd

( √ -- √ -) 2 √ --- √ -- √ -- 2 ∘ --6-+---2- 6+--2--12+--2- 8+--4--3- 2-+---3- sin (7 5 ) = 4 = 16 = 16 = 4 .

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF