Zadanie nr 4763853
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe , a pole jego powierzchni całkowitej wynosi
. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie
Szkicujemy graniastosłup.
Skoro znamy pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej
, to możemy obliczyć pole podstawy
.
![√ -- √ -- √ -- √ -- 2Pp = Pc − Pb = 16 8 3− 120 3 = 4 8 3 ⇒ Pp = 24 3.](https://img.zadania.info/zad/4763853/HzadR4x.gif)
Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny – jest to figura składająca się z 6 trójkątów równobocznych, więc jeżeli przez oznaczymy długość jego boku, to korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy
![√ -- √ -- a2 3 3 3 Pp = 6 ⋅------= ----a 2 √ --4 2 √ -- 3--3- 2 --2-- 2 4 3 = 2 a / ⋅3 √ 3- 2 16 = a ⇒ a = 4.](https://img.zadania.info/zad/4763853/HzadR6x.gif)
Obliczmy teraz z podanego pola powierzchni bocznej długość wysokości graniastosłupa.
![√ -- √ -- 120 3 = 6aH = 24H ⇒ H = 5 3.](https://img.zadania.info/zad/4763853/HzadR7x.gif)
Długość przekątnej ściany bocznej obliczamy z trójkąta prostokątnego .
![∘ -2-----2 √ -------- √ --- AC = a + H = 16 + 75 = 91.](https://img.zadania.info/zad/4763853/HzadR9x.gif)
Odpowiedź: Krawędź podstawy: 4, przekątna ściany bocznej: .