/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Wielomiany/Jeden wielomian/Z parametrem

Zadanie nr 5421368

Wielomian 7 5 4 W (x) = x − 5ax + 4bx − 6x + 8 jest podzielny przez wielomian (x2 − 1) . Zatem
A) a + b = − 1 . B) a + b = − 2 . C) a + b = − 3 . D) a + b = 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (x − a) to dokładnie W (a) (aby się o tym przekonać wystarczy podstawić x = a w równości W (x ) = Q (x)(x− a)+ R(x ) ).

W naszej sytuacji wiemy, że wielomian W (x) jest podzielny przez

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1 ),

więc

{ 0 = W (1) = 1− 5a+ 4b− 6+ 8 0 = W (− 1) = −1 + 5a + 4b + 6 + 8

Dodajemy te równania stronami i mamy

8b = −1 6 ⇒ b = − 2.

Wtedy pierwsze równanie przybiera postać

5a = 4b + 3 = − 8+ 3 = − 5 ⇒ a = − 1.

Zatem a+ b = − 1 − 2 = − 3 .  
Odpowiedź: C

Wersja PDF