/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje - wykresy/Liniowy/Dany wykres

Zadanie nr 6059230

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f . Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (− 2,2) i B = (4,5) .

PIC

Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem
A) g(x ) = 1x − 3 2 B) g (x) = − 1x + 3 2 C) 1 g(x ) = 2x + 3 D) g (x ) = − 12x − 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli odbijemy dany wykres funkcji liniowej względem początku układu współrzędnych, to otrzymamy prostą przechodzącą przez punkty ′ A = (2,− 2) i ′ B = (− 4,− 5) .

PIC

Szukamy teraz prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A ′ i B ′ .

{ −2 = 2a+ b −5 = − 4a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

3 = 6a ⇒ a = 1. 2

Stąd b = − 2 − 2a = − 2 − 1 = − 3 i odbita prosta ma równanie 1 2x − 3 .

Sposób II

Napiszmy najpierw równanie prostej AB – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 2 = − 2a+ b 5 = 4a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

3 = 6a ⇒ a = 1. 2

Stąd

b = 2+ 2a = 3

i prosta AB ma równie y = 12x + 3 .

Prosta symetryczna do niej względem początku układu współrzędnych ma ten sam współczynnik kierunkowy, bo tworzy z osią Ox taki sam kąt jak pierwsza prosta. Ponadto przecina oś Oy w punkcie (0,− 3) , więc jest to prosta: 1 y = 2x − 3 .  
Odpowiedź: A

Wersja PDF