/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Położenie względem osi

Zadanie nr 6782408

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt P = (−4 ,3) leży na końcowym ramieniu kąta α . Cosinus kąta α jest równy
A) 45 B) − 45 C) 35 D) − 3 5

Rozwiązanie

Dorysujmy rzuty punktu P na osie okładu współrzędnych.

PIC

Sposób I

Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego.

x −4 4 co sα = -P--= ∘-------------= − -- OP (− 4)2 + 32 5

Sposób II

Zauważmy, że

∘ OA 4 cos(180 − α ) = ----= --. OP 5

Stąd

∘ 4- co sα = − cos(180 − α) = − 5.

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt POB .

sin β = BP--= 4. OP 5

Stąd

cos α = cos(90∘ + β ) = − sinβ = − 4. 5

Sposób IV

Napiszmy równanie prostej OP . Jest to prosta postaci y = ax . Współczynnik a obliczamy podstawiając współrzędne punktu P .

3 3 = − 4a ⇒ a = − -. 4

Otrzymany współczynnik kierunkowy to dokładnie tg α , więc

sin α 3 ----- = − -- / ()2 cos2α 4 sin--α 9-- cos2 α = 16 2 2 16(1 − cos α) = 9 cos α 2 4- 25 cos α = 16 ⇒ co sα = ± 5

Ponieważ α jest kątem rozwartym, mamy stąd cosα = − 45 .  
Odpowiedź: B

Wersja PDF