/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Położenie względem osi

Zadanie nr 6799283

Na końcowym ramieniu kąta α (rysunek) leży punkt P = (− 3;4) .

PIC

Wówczas
A) sin α = − 35 B) cos α = − 43 C) co sα = − 3 5 D) tg α = 4 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy rzuty punktu P na osie okładu współrzędnych.

PIC

Sposób I

Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego.

co sα = xP--= ∘----−3-------= − 3- OP (− 3)2 + 42 5 sin α = yP--= ∘-----4-------= − 4- OP (− 3)2 + 42 5 sin α y 4 tg α = -----= -P-= − -. cosα xP 3

Sposób II

Zauważmy, że

∘ OA 3 cos(180 − α ) = OP--= 5-.

Stąd

co sα = − cos(180∘ − α) = − 3. 4

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt POB .

BP 3 sin β = ----= -. OP 5

Stąd

∘ 3- cos α = cos(90 + β ) = − sinβ = − 5.

Sposób IV

Napiszmy równanie prostej OP . Jest to prosta postaci y = ax . Współczynnik a obliczamy podstawiając współrzędne punktu P .

4 4 = − 3a ⇒ a = − -. 3

Otrzymany współczynnik kierunkowy to dokładnie tg α , więc

sinα 4 2 cosα-= − 3- /() 2 sin-α-= 16- cos2α 9 9(1− cos2α) = 16cos2 α 25cos2 α = 9 ⇒ cosα = ± 5- 3

Ponieważ α jest kątem rozwartym, mamy stąd cosα = − 35 .  
Odpowiedź: C

Wersja PDF