Zadanie nr 8910852
W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt
o wierzchołku w punkcie
. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią
, a drugie przechodzi przez punkt
(zobacz rysunek).
Tangens kąta jest równy
A) B)
C)
D)
Rozwiązanie
Niech będzie początkiem układu współrzędnych.
Sposób I
Zauważmy, że
![tg(1 80∘ − α) = AP-- = 1. AO 4](https://img.zadania.info/zad/8910852/HzadR2x.png)
Stąd
![tg α = − tg (180∘ − α) = − 1-. 4](https://img.zadania.info/zad/8910852/HzadR3x.png)
Sposób II
Tym razem popatrzmy na trójkąt .
![BO 1 ctg β = ----= -. PB 4](https://img.zadania.info/zad/8910852/HzadR5x.png)
Stąd
![1 tgα = tg(90∘ + β) = − ctgβ = − -. 4](https://img.zadania.info/zad/8910852/HzadR6x.png)
Sposób III
Napiszmy równanie prostej . Jest to prosta postaci
. Współczynnik
obliczamy podstawiając współrzędne punktu
.
![1 = − 4a ⇒ a = − 1. 4](https://img.zadania.info/zad/8910852/HzadR11x.png)
Otrzymany współczynnik kierunkowy to dokładnie interesujący nas .
Sposób IV
Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznej kąta skierowanego.
![y- -1-- 1- tg α = x = − 4 = − 4 .](https://img.zadania.info/zad/8910852/HzadR14x.png)
Odpowiedź: A