/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Pole

Zadanie nr 4610816

Prosta przechodząca przez środek S kwadratu ABCD przecina proste zawierające jego boki AB i AD odpowiednio w punktach K i L (zobacz rysunek).

PIC

Jeżeli bok kwadratu ma długość |AB | = 8 i |AL | = 6 , to pole trójkąta AKL jest równe
A) 32 B) 36 C) 40 D) 52

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech M będzie punktem wspólnym odcinków LK i BC .

PIC

Punkt S jest środkiem symetrii kwadratu ABCD , więc BM = DL = 2 . Ponadto trójkąty prostokątne KBM i KAL mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku K , więc są podobne.

Sposób I

Jeżeli oznaczymy BK = x , to z podobieństwa trójkątów KAL i KBM mamy

KA-- -AL- KB = BM 8 + x 6 ------= --= 3 x 2 8+ x = 3x ⇒ x = 4.

Pole trójkąta AKL jest więc równe

PAKL = 1-⋅AK ⋅AL = 1-⋅1 2⋅6 = 36. 2 2

Sposób II

Trójkąt KBM jest

AL--= 6-= 3 BM 2

razy mniejszy od trójkąta KAL , czyli stosunek pól tych trójkątów jest równy 19 . Ponadto pole trapezu ABML stanowi połowę pola kwadratu ABCD , więc

PKAL − PKBM = PABML 1 1 PKAL − --PKAL = --⋅82 = 32 9 2 8- 9- 9 PKAL = 32 ⇒ PKAL = 8 ⋅3 2 = 36.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF