/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Proste styczne

Zadanie nr 3446629

Punkty A , B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O . Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 32 ∘ . Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta rozwartego BOC jest równa
A) 148 ∘ B) 116∘ C) 15 4∘ D) 12 2∘

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ styczna jest prostopadła do promienia OA mamy

∡OAB = 90∘ − 32∘ = 58 ∘.

Trójkąt ABO jest równoramienny, więc ∡OBA = ∡OAB = 58∘ . Stąd

∡AOB = 180∘ − 2 ⋅58∘ = 6 4∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡BOC = 180 − ∡AOB = 180 − 6 4 = 116 .

Sposób II

Na mocy twierdzenia o stycznej do okręgu, zaznaczony kąt między styczną a cięciwą AB jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku AB .

ZINFO-FIGURE

Trójkąt BOC jest równoramienny, więc

∘ ∘ ∘ ∘ ∡BOC = 180 − 2∡BCO = 180 − 2 ⋅32 = 116 .

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF