Zadanie nr 8342732
Prosta jest styczna w punkcie
do okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym
, w którym
. Prosta
zawiera punkty
i
i przecina prostą
w punkcie
, przy czym
i
(zobacz rysunek).
Długość odcinka jest równa
A) 3 B) C)
D)
Rozwiązanie
Kluczowe w tym zadaniu jest zauważenie podobieństwa trójkątów i
. Można to zauważyć na różne sposoby, np. na mocy twierdzenia o stycznej,
![∡DAC = ∡DBA](https://img.zadania.info/zad/8342732/HzadR2x.png)
Ponadto kąt przy wierzchołku jest wspólny w obu trójkątach, więc są podobne.
Jeżeli nie chcemy korzystać z twierdzenia o stycznej, to połączmy środek okręgu z punktami
i
.
Mamy wtedy
![∡ASC = 2∡ABC = α 180 ∘ − 2 α ∡SAC = ---------- = 90 ∘ − α ∘ 2 ∘ ∘ ∡DAC = 90 − ∡SAC = 90 − (90 − α) = α .](https://img.zadania.info/zad/8342732/HzadR8x.png)
To oznacza, że trójkąty i
mają dwa takie same kąty, więc są podobne.
Jeżeli już wiemy, że trójkąty i
są podobne, to sprawa jest bardzo prosta. Korzystamy z tego podobieństwa
![AC BA ---- = ---- CD AD AC-- 6- 3- 3- 2 = 4 = 2 ⇒ AC = 2 ⋅2 = 3.](https://img.zadania.info/zad/8342732/HzadR13x.png)
Odpowiedź: A