/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Proste styczne

Zadanie nr 8342732

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AB | = |CB | = 6 . Prosta l zawiera punkty B i C i przecina prostą k w punkcie D , przy czym |CD | = 2 i |AD | = 4 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość odcinka AC jest równa
A) 3 B) 4 3 C) √ --- 12 D) √ -- 8 + 2

Rozwiązanie

Kluczowe w tym zadaniu jest zauważenie podobieństwa trójkątów ADC i BDA . Można to zauważyć na różne sposoby, np. na mocy twierdzenia o stycznej,

∡DAC = ∡DBA

Ponadto kąt przy wierzchołku D jest wspólny w obu trójkątach, więc są podobne.

Jeżeli nie chcemy korzystać z twierdzenia o stycznej, to połączmy środek okręgu S z punktami A i C .

ZINFO-FIGURE

Mamy wtedy

∡ASC = 2∡ABC = α 180 ∘ − 2 α ∡SAC = ---------- = 90 ∘ − α ∘ 2 ∘ ∘ ∡DAC = 90 − ∡SAC = 90 − (90 − α) = α .

To oznacza, że trójkąty ADC i BDA mają dwa takie same kąty, więc są podobne.

Jeżeli już wiemy, że trójkąty ADC i BDA są podobne, to sprawa jest bardzo prosta. Korzystamy z tego podobieństwa

AC BA ---- = ---- CD AD AC-- 6- 3- 3- 2 = 4 = 2 ⇒ AC = 2 ⋅2 = 3.

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF