/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane/3 punkty na okręgu

Zadanie nr 6490250

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A ,B ,C ,D ,E leżą na okręgu o środku O , przy czym AB jest średnicą tego okręgu, D jest środkiem łuku AB oraz |∡ABC | = 50 ∘ .

PIC

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
A) 40∘ B) 5 0∘ C) 30∘ D) 45∘

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy najpierw, że ∘ ∡ACB = 90 jako kąt wpisany oparty na średnicy AB .

PIC

Ponieważ kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary, to

α = ∡AED = ∡ACD .

Wiemy też, że łuki AD i DB mają tą samą długość, więc

∡ACD = ∡DCB ⇒ α = ∡ACD = 1∡ACB = 1-⋅90∘ = 4 5∘. 2 2

Sposób II

Ponieważ D jest środkiem łuku AB , trójkąt ADB jest równoramienny i prostokątny (bo kąt ADB jest oparty na średnicy). Zatem

9 0∘ = ∡AOD = 2∡AED = 2α ⇒ α = 45∘.

Skorzystaliśmy z tego, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.  
Odpowiedź: D

Wersja PDF