/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Pole

Zadanie nr 8615827

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Ze środka S boku AC zakreślono koło o promieniu równym połowie boku trójkąta (zobacz rysunek).

PIC

Pole powierzchni części wspólnej koła i trójkąta jest równe
A) 4√ 3-+ 4 π 3 B) 8 √ 3+ 4π 3 C) √ -- 8 8 3 + 3π D) √ -- 8 4 3+ 3π

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że kąt AEC jako kąt oparty na średnicy jest prosty, więc AE jest wysokością trójkąta równobocznego ABC .

PIC

To oznacza, że punkt E jest środkiem boku BC i trójkąt SEC jest równoboczny. Dokładnie z takich samych powodów trójkąt ADS jest równoboczny. Suma pól tych trójkątów to

√ -- 42 3 √ -- PSEC + PADS = 2PSEC = 2 ⋅------= 8 3. 4

Do tego musimy dodać pole wycinka kołowego ESD wyciętego przez kąt o mierze ∘ 60 . Pole tego wycinka jest równe

60∘ 2 1 8 ---∘-⋅π ⋅4 = -⋅ 16π = -π . 360 6 3

Interesujące nas pole części wspólnej trójkąta i koła jest więc równe

√ -- 8- 8 3+ 3π .

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF