/Szkoła średnia/Zadania testowe/Równania/Liniowe/Z parametrem

Zadanie nr 7064816

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Parametr m dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

(4 − m 2)⋅ x = m 2 − 3m + 2

z niewiadomą x . Wynika stąd, że
A) m = − 2 B) m = 1 C) m = 2 D) m = 4

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że prosta

2 2 y = (4− m ) ⋅x − (m − 3m + 2 )

jest poziomą prostą y = 0 . Zatem

{ 2 4 − m = 0 m 2 − 3m + 2 = 0.

Z pierwszego równania otrzymujemy m = ± 2 . Łatwo sprawdzić, że tylko m = 2 spełnia drugie równanie.

Sposób II

Zauważmy, że

2 m − 3m + 2 = (m − 2 )(m − 1),

więc dane równanie możemy zapisać w postaci

(4− m2) ⋅x = m 2 − 3m + 2 − (m − 2)(m + 2)x = (m − 2)(m − 1).

Widać teraz, że jeżeli m = 2 , to obie strony równania są stale równe zeru. Widać też, że dla m = − 2 równanie jest sprzeczne, a dla m ⁄= ± 2 równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 1m−+m2 .  
Odpowiedź: C

Wersja PDF