/Szkoła średnia/Zadania testowe/Równania/Układy równań/Z parametrem

Zadanie nr 5274992

Układ równań { 2 2 (x+ 2) + (y− 1) = 25 (x− 1)2 + (y+ 2)2 = a z niewiadomymi x,y i parametrem dodatnim a ma dwa rozwiązania, gdy
A) √ -- √ -- a > 5 + 3 2 B) √ -- √ -- | a− 5| < 3 2 C) √ -- √ -- a + 3 2 < 5 D) √ -- √ -- | a − 5| > 3 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Pierwsze równanie opisuje okrąg o środku S 1 = (− 2,1) i promieniu r1 = 5 , a drugie okrąg o środku S2 = (1 ,−2 ) i promieniu √ -- r2 = a . Ponieważ

∘ --------------------- √ --- √ -- S S = (1 + 2)2 + (− 2− 1)2 = 18 = 3 2 < 5 = r , 1 2 1

to środek drugiego okręgu znajduje się wewnątrz koła ograniczonego pierwszym okręgiem. Robimy szkicowy rysunek tej sytuacji

PIC

Sposób I

Z obrazka powinno być jasne, że drugi okrąg przecina pierwszy w dwóch punktach, gdy jego promień jest pomiędzy dwoma skrajnymi położeniami, w których drugi okrąg jest styczny do pierwszego, tzn. gdy

r + S S > r > r − S S 1 1 2 2 1 1 2

Warunek ten możemy zapisać w postaci

r1 + S1S 2 > r2 > r1 − S1S2 / − r1 S 1S2 > r2 − r1 > −S 1S2 |r2 − r1| < S1S2 √ -- √ -- | a − 5| < 3 2.

Sposób II

Sprawdzamy podane odpowiedzi.

Widać, że warunki √ -- √ -- a > 5+ 3 2 i √ -- √ -- | a− 5 | > 3 2 są spełnione przez dowolnie duże liczby a , a z obrazka jest jasne, że przy bardzo dużym promieniu drugiego okręgu jest on rozłączny z pierwszym okręgiem.

Podobnie, warunek √ -- √ -- a + 3 2 < 5 jest spełniony przez dowolnie małe liczby dodatnie a , a wtedy drugi okrąg będzie w całości zawarty w pierwszym okręgu. Pozostaje więc warunek √ -- √ -- | a − 5| < 3 2 .  
Odpowiedź: B

Wersja PDF