/Szkoła średnia/Zadania testowe/Równania/Układy równań/Różne

Zadanie nr 6653718

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód rombu o przekątnych długości a i b jest równy 48. Pole tego rombu jest równe 16. Oblicz długości przekątnych tego rombu.
Który układ równań opisuje zależności między długościami przekątnych tego rombu?
A) { a + b = 24 ab = 16 B) { √ -2----2 a + b = 24 ab = 32 C) { √ ------- a2 + b2 = 4 8 ab = 16 D) { a2 + b2 = 96 ab = 32

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy romb.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez S środek rombu, a przez x długość jego boku, to z trójkąta prostokątnego ASD mamy

∘ --------------- √ ------- ∘ ------------ ( a) 2 ( b) 2 a2 + b2 x = AD = AS 2 + DS 2 = -- + -- = ---------. 2 2 2

Obwód rombu jest więc równy

√ ------- ∘ ------- 4x = 4⋅ --a2 +-b2 = 2 a2 + b2 2

i podana informacja o obwodzie prowadzi do równania

∘ ------- a2 + b2 = 24.

Aby zapisać informację o polu rombu korzystamy ze wzoru na pole z przekątnymi.

1- 1- 16 = PABCD = 2 AC ⋅BD = 2ab ⇒ ab = 32

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF