/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Geometryczne/Objętość

Zadanie nr 6021872

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Mamy dwa pojemniki: pierwszy ma kształt sześcianu, drugi - ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Przekątna sześcianu ma długość √ -- 6 2 cm . Wysokość ostrosłupa tworzy ze ścianą boczną kąt o mierze 60∘ . Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe √ -- 2 64 3 cm . Sprawdź na podstawie odpowiednich obliczeń, czy woda wypełniająca całkowicie pierwszy pojemnik zmieści się w drugim pojemniku.

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw objętość sześcianu.

PIC

Jeżeli oznaczmy przez a długość krawędzi sześcianu to przekątna w podstawie ma długość √ -- AB = a 2 , a przekątna sześcianu

∘ ------------ ∘ --------- √ -- BC = AB 2 + AC 2 = 2a2 + a2 = a 3.

Mamy więc

√ -- √ -- √ -- 6 2 √ -- a 3 = 6 2 ⇒ a = -√---= 2 6 3

i objętość sześcianu jest równa

3 √ --3 √ -- √ -- V 1 = a = (2 6 ) = 8⋅6 ⋅ 6 = 4 8 6.

Patrzymy teraz na ostrosłup. Oznaczmy przez a długość jego krawędzi podstawy, przez H długość jego wysokości, a przez h długość wysokości ściany bocznej.

Z trójkąta FES mamy

1 √ -- F-E = sin 60∘ ⇒ h = 2√-a = √a--= a--3- SF --3 3 3 2 √ -- H- ∘ 1- a--3- h = cos60 ⇒ H = 2 h = 6 .

Pole ściany bocznej jest równe 1 2ah , więc wiemy, że

1 √ -- 4 ⋅--ah = 64 3 2 √ -- a---3 √ -- --3-- 2a ⋅ 3 = 64 3 / ⋅2√ 3 2 a = 96 = 6 ⋅16 a = 4√ 6.

Liczymy objętość ostrosłupa

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- V2 = 1a2 ⋅H = 1-a2 ⋅ a-3 = a3 ⋅--3-= 64⋅ 6⋅ 6 ⋅--3-= 64 2. 3 3 6 18 18

Pozostało sprawdzić, która z liczb V1 , czy V 2 jest większa. Można to zrobić na kalkulatorze, można też zauważyć, że

( ) 2 ( √ -) 2 ( √ --)2 V1- = 48-√-6- = 3--3- = 27-> 1. V2 64 2 4 16

Objętość sześcianu jest więc większa i woda nie zmieści się w drugim pojemniku.  
Odpowiedź: Nie, nie zmieści się.

Wersja PDF