Zadanie nr 7624552

Wódz indiański wysłał trzech zwiadowców na zachód, północ i wschód. Każdy z nich oddalił się o 5 km od obozu i miał w zasięgu wzroku teren o promieniu 5 km.

Jaki obszar kontrolują zwiadowcy?
O ile zmniejszy się kontrolowany teren, jeśli jeden ze zwiadowców zostanie pojmany przez wrogie plemię? (Rozpatrz dwa przypadki)

Rozwiązanie

Najważniejszy jest oczywiście rysunek.

Pole kontrolowanego obszaru, to suma pól trzech kół pomniejszona o dwa pola ’łezki’ opartej na cięciwie . Pole odcinka kołowego opartego na cięciwie (czyli połowy ’łezki’) jest polem ćwiartki koła pomniejszonej o pole trójkąta , czyli
$1S = 125π − 12 5 2 4 2 25- S = 2 (π − 2).$

Kotrolowany obszar to zatem

$3 ⋅25π − 2S = 3 ⋅25π − 25π + 50 = 50(π + 1).$

Odpowiedź:
Jeżeli zostanie pojmany zwiadowca północny, to pozostałe pole, to pole dwóch kół, czyli zatem pole zmniejszy się o 50. W drugim przypadku, gdy zostanie pojmany zwiadowca wschodni lub zachodni, to pole zmniejszy się o
$2 5π − S = 25(π + 2). 2$

Odpowiedź: 50 lub