Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7754559

Boja ma kształt dwóch stożków połączonych podstawami, przy czym kąty rozwarcia tych stożków są równe 6 0∘ i 90∘ , a odległość ich wierzchołków jest równa √ -- 3 + 1 . Oblicz pole powierzchni tej boi.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Oczywiście wystarczy zajmować się przekrojem osiowym.


PIC


Sposób I

Zauważmy, że trójkąt ABC jest równoboczny, więc przy oznaczeniach z rysunku mamy

 √ -- b--3- BP = 2 .

Ponadto trójkąt ACD jest połówką kwadratu, więc

P D = P C = 1AC = 1b 2 2 √ -- √ 2- b = AC = a 2 ⇒ a = ----b. 2

Z podanej długości BD mamy

√ -- √ -- 3 + 1 = BD = BP + PD = b--3-+ 1-b √ -- 2 2 2( 3+ 1) b = -√---------= 2. 3 + 1

Zatem promień podstawy stożków jest równy  b r = 2 = 1 , oraz  √-2 √ -- a = 2 b = 2 . Liczymy pole powierzchni bocznej.

 √ -- S = πra + πrb = π( 2 + 2)

Sposób II

Jeżeli oznaczymy BP = x to mamy

 √ -- √ -- AP-- ∘ --3- --3- x = tg30 = 3 ⇒ AP = 3 x AP AP √ -- ----= √-----------= tg 45∘ = 1 ⇒ AP = 3 + 1 − x . P D 3 + 1 − x

Mamy stąd

 -- √ -- √ 3+ 1− x = --3-x 3 √ -- ( √ -) 3+ 1 = 1+ --3- x 3 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- -- x = 3(--3-+√-1)-= 3(--3-+-1)(3-−---3)-= 3--3-+-3-−-3-−---3-= √ 3. 3+ 3 9 − 3 2

Zatem

 √ -- √ -- BP-- ∘ --3- --3- BA = co s30 = 2 ⇒ b = √-3 = 2 √ -- √ -- √ -- √ -- 2√ -- a = PD 2 = ( 3 + 1 − 3 ) 2 = 2.

Pole powierzchni liczymy jak poprzednio.

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt ABD – znamy jego dwa kąty i bok, a chcemy wyliczyć długości pozostałych boków. Łatwo to zrobić z twierdzenia sinusów, o ile tylko wyliczymy sinus kąta A . Liczymy

sin ∡A = sin(18 0∘ − 30∘ − 45∘) = sin(30∘ + 45∘ ) = √ -- √ -- ∘ ∘ ∘ ∘ --2- --6- = sin3 0 cos 45 + sin 45 cos 30 = 4 + 4 .

Korzystamy teraz z twierdzenia sinusów

 √ -- ---a--- = --3+-1-- sin 30∘ s√in-∡A 3+ 1 1 2 √ -- a = √6+-√2-⋅ --= √----= 2 ---4--- 2 2 b √ 3+ 1 ------- = -------- sin 45∘ s√in-∡A √ -- √ -- 3+ 1 2 2 2 b = √6+-√2-⋅ ----= √----= 2. ---4--- 2 2

Pole powierzchni liczymy jak poprzednio.  
Odpowiedź:  √ -- π ( 2+ 2)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!