Zadanie nr 3080559
Na rysunku przedstawiony został szkic części parku. Dwie fontanny wpisano w prostokątny klomb kwiatów. Są one styczne do linii przekątnej klombu. Wiedząc, że przekątna klombu ma długość oraz tworzy ona z jednym z boków klombu kąt o mierze
, wyznacz odległość środków tych fontann.
Rozwiązanie
Długość odcinka wyliczymy z trójkąta prostokątnego
, ale najpierw musimy wyliczyć boki długości boków prostokąta oraz promień okręgu wpisanego w trójkąt
.
Boki wyliczamy z podanego kąta i długości przeciwprostokątnej .
![√ -- AC-- ∘ --3- √ -- AB = cos 30 = 2 ⇒ AC = 5 3 BC 1 ----= sin30 ∘ = -- ⇒ BC = 5. AB 2](https://img.zadania.info/zad/3080559/HzadR5x.gif)
Promień okręgu wpisanego w trójkąt wyliczamy ze wzoru na pole
, gdzie
oznacza połowę obwodu trójkąta.
![AC-⋅BC- √ -- √ -- √ -- √ -- r = P- = ----2------= --25--3√---= -5--√3--= 5--3(3-−---3)-= p AC+BC-+AB-- 15 + 5 3 3 + 3 9− 3 √ -- 2 √ -- = 1-5--3−--15 = 5--3−--5. 6 2](https://img.zadania.info/zad/3080559/HzadR9x.gif)
Możemy teraz obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta .
![√ -- √ -- PR = BC − 2r = 5 − 5 3 + 5 = 10− 5 3 √ -- √ -- RQ = AC − 2r = 5 3 − 5 3 + 5 = 5.](https://img.zadania.info/zad/3080559/HzadR11x.gif)
Zatem szukana odległość jest równa
![∘ ------------ ∘ ---------√-------------- ∘ ----------√--- ∘ ----√--- PQ = PR 2 + RQ 2 = 100− 100 3 + 75 + 25 = 200 − 10 0 3 = 10 2− 3.](https://img.zadania.info/zad/3080559/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: