Zadanie nr 5926713
Z dwóch okrągłych kawałków blachy o średnicy 25 cm wycięto dwa prostokąty w ten sposób, że wierzchołki prostokątów znajdowały się na brzegu kół (patrz rysunek).
Pierwszy prostokąt miał długość o 4 cm większą niż drugi prostokąt, ale szerokość o 8 cm mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z prostokątów.
Rozwiązanie
Powiedzmy, że pierwszy prostokąt ma długość i szerokość
. Wtedy drugi prostokąt ma długość
i szerokość
.
Zauważmy teraz, że średnica okręgu to dokładnie długość przekątnej każdego z prostokątów.
Tak jest, bo środkiem okręgu opisanego na prostokącie jest punkt przecięcia jego przekątnych. Mamy zatem układ równań (twierdzenie Pitagorasa w każdym prostokącie).

Odejmijmy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty).

Podstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania układu.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy . Stąd
. Drugi prostokąt ma wymiary:
i
.
Odpowiedź: oraz