/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Geometryczne/Długość i odległość

Zadanie nr 8023068

Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Powiedzmy, że pierwsze boisko ma szerokość x i długość y . Wtedy drugie boisko ma szerokość x − 8 i długość y + 4 . Zapiszmy teraz podaną informację o długościach przekątnych.

{ x2 + y2 = 6 52 2 2 2 { (x − 8) + (y + 4) = 65 x2 + y2 = 6 52 x2 − 16x + 6 4+ y 2 + 8y + 16 = 652

Odejmijmy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty).

16x − 64 − 8y − 16 = 0 / : 8 2x − 8 − y − 2 = 0 y = 2x − 10.

Podstawmy to wyrażenie w pierwszym równaniu układu

x2 + (2x− 10)2 = 422 5 2 2 x + 4x − 40x + 100 = 4225 5x2 − 40x − 412 5 = 0 / : 5 2 x − 8x− 825 = 0 Δ = 6 4+ 3 300 = 336 4 = 582 x = 8-−-58-= − 25 ∨ x = 8+--58-= 3 3. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy x = 33 oraz y = 2x − 10 = 56 . Drugie boisko ma wymiary 25× 60 .  
Odpowiedź: 56 m × 33 m i 60 m × 25 m

Wersja PDF