Zadanie nr 9149080
Paweł zamówił szybę w kształcie rombu o przekątnych 40 cm i 30 cm. Zaproponował szklarzowi, by wyciął romb z prostokątnego kawałka szyby, tak jak na rysunku. Jakie wymiary ma ten prostokątny kawałek szyby?
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia z rysunku.
Ponieważ przekątne rombu dzielą się na połowy i są prostopadłe, trójkąt jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości 20 i 15. Możemy więc wyliczyć długość boku rombu (korzystamy z twierdzenia Pitagorasa)
![------------ ∘ ---2------2 ∘ ---2-----2 ∘ 2 2 2 √ --- AB = AS + BS = 20 + 15 = 5 (4 + 3 ) = 5 2 5 = 25.](https://img.zadania.info/zad/9149080/HzadR2x.gif)
Długości boków prostokąta obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Zauważmy, że odcinek jest wysokością rombu, więc możemy wyliczyć jego długość ze wzoru na pole rombu. Pole to możemy obliczyć na dwa sposoby
![1 PABCD = 4PABS = 4 ⋅-AS ⋅SB = 2 ⋅20 ⋅15 = 60 0 2 PABCD = AB ⋅AE = 25AE .](https://img.zadania.info/zad/9149080/HzadR5x.gif)
Mamy zatem równanie
![25AE = 600 / : 25 AE = 2 4.](https://img.zadania.info/zad/9149080/HzadR6x.gif)
Długość odcinka możemy wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie
. Liczymy
![∘ ------------ ∘ ---------- ∘ ------------ √ --- AF = AC 2 − FC 2 = 4 02 − 2 42 = 82(52 − 32) = 8 16 = 32.](https://img.zadania.info/zad/9149080/HzadR9x.gif)
Sposób II
Zauważmy, że trójkąty i
są prostokątne i mają kąt wspólny
. Są więc podobne i mamy
![AS AF AS 20 ----= ---- ⇒ AF = ----⋅AC = ---⋅40 = 32 AB AC AB 25 -BS-= F-C- ⇒ FC = -BS-⋅ AC = 1-5⋅ 40 = 24. AB AC AB 2 5](https://img.zadania.info/zad/9149080/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: 24 cm i 32 cm