Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2309532

Ze środka górnej ściany sześcianu wypuszczono promień świetlny, który odbija się od ścian sześcianu zgodnie z zasadą „kąt padania jest równy kątowi odbicia”. Promień porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do jednej ze ścian sześcianu oraz został wypuszczony pod kątem α > 0 wględem prostej prostopadłej do górnej ściany sześcianu i przechodzącej przez jej środek. Dla jakich wartości sin α promień odbije się od bocznej ściany sześcianu, a potem trafi w dolną ścianę sześcianu?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Narysujmy sobie przekrój sześcianu płaszczyzną, w której porusza się promień i oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a .


PIC


Jak się chwilę zastanowimy to widać, że są dwie skrajne sytuacje: gdy promień po odbiciu od bocznej ściany trafia w wierzchołek B , oraz gdy promień od razu trafia w wierzchołek A . Spróbujemy ustalić jakie są sinusy tych skrajnych kątów β i γ .

Zauważmy, że trójkąty ABE i DF E są podobne, oraz ich skala podobieństwa wynosi

AB--= 2 DF

Zatem

 2 2 AE = -AD = -a 3 3 ∘ --------- ∘ ----- √ --- ∘ ---2------2- 2 4-2 13- 2 --13a- BE = AB + AE = a + 9a = 9 a = 3 √ --- sin β = AB--= √a---= √-3--= 3--13-. BE --13a- 13 1 3 3

Teraz zajmijmy się kątem γ . Mamy

 ------------- ∘ -------- ∘ ---- √ -- ∘ 2 2 2 a2- 5a2- --5a- AG = AD + DG = a + 4 = 4 = 2 1 √ -- sin γ = DG--= √2a- = --5. AG --5a 5 2

Kąt α musi być pomiędzy γ a β , zatem

√ -- √ --- --5-≤ sin α ≤ 3--1-3. 5 13

 
Odpowiedź: √- √ -- 55-≤ sin α ≤ 31313-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!