/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Geometryczne/Inne

Zadanie nr 5737676

Ania układa szklane kulki w figury pokazane na rysunku, na którym pokazane są pierwsze trzy figury.

PIC

  • Niech an będzie różnicą liczby kulek w (n + 1) –ej i n –tej figurze. Wypisz pierwszych 5 wyrazów ciągu (a ) n .
  • Uzasadnij, że (an) jest ciągiem arytmetycznym i oblicz ile potrzeba kulek do ułożenia 20 figury.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Wypisujemy pierwsze wyrazy ciągu (an) (najlepiej odczytać to z rysunku).
    a = 2,a = 3,a = 4,a = 5,a = 6. 1 2 3 4 5
  • Przechodząc od n –tej figury do (n + 1) –ej, musimy dołożyć n + 1 kulek, zatem a = n+ 1 n . Jest to oczywiście ciąg arytmetyczny o różnicy 1. Dalszą część rozwiązania zrobimy na dwa sposoby.

    Sposob I

    Do ułożenia 20 figury potrzeba

    1 + a + a + ⋅⋅⋅+ a 1 2 19

    kulek (bo suma ta liczy ile musimy dołożyć kulek do pierwszej figury aby uzyskać 20–tą).

Korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego mamy

a1 + a19 2 + 2 0 S19 = -------- ⋅19 = -------⋅1 9 = 11 ⋅19 = 20 9. 2 2

Do ułożenia 20 figury potrzeba zatem 210 kulek.

Sposob II

Jeżeli przez bn oznaczymy liczbę kulek potrzebnych do ułożenia n -tej figury, to

n(n-+--1) bn = 1+ 2+ ⋅⋅⋅+ n = 2 .

W takim razie

20⋅-21- b20 = 2 = 10 ⋅21 = 210.

 
Odpowiedź: 210 kulek

Wersja PDF