/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Prędkość/1 ruchomy obiekt

Zadanie nr 9366749

Turysta zwiedzał zabytkowy młyn stojący w dolinie rzeki. Droga łącząca parking z młynem ma długość 1,8 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do młyna i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 54 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta schodził w dolinę, jeżeli prędkość ta była o 0,9 km/h większa od średniej prędkości, z jaką wracał na parking.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Powiedzmy, że turysta schodził w dolinę przez t 1 godzin, a wracał do parkingu przez t2 godzin. W takim razie

54 9 t1 + t2 = ---= ---= 0,9. 60 10

Ponadto wiemy, że

1,8- 1,8- 10- t − 0,9 = t / ⋅ 9 t1t2 1 2 2t2 − t1t2 = 2t1.

Podstawiamy teraz w tym równaniu t2 = 0,9 − t1 .

2(0,9 − t1)− t1 (0,9− t1) = 2t1 / ⋅10 2(9− 10t1)− t1(9 − 10t1) = 2 0t1 2 10t1 − 4 9t1 + 18 = 0 Δ = 4 92 − 4 ⋅10 ⋅18 = 1681 = 41 2 t = 49−--41-= 8--= 2, t = 4-9+--41 = 9-0 = 9-. 1 20 20 5 1 20 2 0 2

Drugie rozwiązanie odrzucamy, bo wtedy t2 = 0,9 − t1 < 0 i mamy t1 = 2 5 .

W takim razie średnia, z jaką turysta schodził w dolinę była równa

1,8 1 8 5 9 -2--= 1-0 ⋅ 2-= 2-= 4,5 km/h . 5

Sposób II

Oznaczmy przez v szukaną prędkość z jaką turysta schodził w dolinę. W takim razie czas zejścia to 1,8 -v- , a czas wejścia to 1,8 v−0,9- . Mamy więc równanie

1,8-+ --1,8---= 54-= -9- / ⋅10v(v − 0 ,9) v v − 0,9 60 10 10 18(v − 0,9) + 18v = 9v(v − 0,9) / ⋅ --- 9 2(10v − 9) + 20v = v(10v − 9) 0 = 10v2 − 49v + 1 8 Δ = 4 92 − 4 ⋅10 ⋅18 = 1681 = 41 2 49 − 41 8 2 49 + 41 90 9 v = --------= ---= -- lub v = --------= ---= --= 4 ,5. 20 20 5 20 20 2

Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, bo wtedy prędkość v − 0,9 z jaką turysta wchodził do góry jest ujemna i mamy v = 4,5 km/h .  
Odpowiedź: 4,5 km/h

Wersja PDF