Zadanie nr 9786136

Koszt godziny pływania pewnego rodzaju łodzi jest sumą kosztu stałego i kosztu zmiennego zależnego od prędkości łodzi. Wiadomo, że koszt stały jest równy 2880 zł/h, a koszt zmienny 0,18x 3 zł/h , gdzie x > 0 oznacza prędkość łodzi (w km/h).

Przy jakich prędkościach łodzi koszt przepłynięcia 1 km będzie mniejszy niż 306 zł?
Przy jakiej prędkości łodzi koszt przepłynięcia 1 km będzie najmniejszy? Oblicz ten koszt.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli łódź płynie z prędkości , to jeden kilometr przepływa w godziny. W takim razie koszt 1 godziny pracy łodzi to
$1 1 3 2 880 9x 2 f(x) = x-⋅2880 + x-⋅0 ,18x = --x-- + -50-.$

Dziedziną tej funkcji jest przedział . Pozostało więc rozwiązać nierówność

$2880 9x2 5 0x -----+ ----< 3 06 / ⋅---- x 503 9 16000 + x < 1 700x x3 − 1700x + 16000 < 0$

Teraz szukamy pierwiastków wymiernych lewej strony – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Jedynym pierwiastkiem wymiernym jest i mamy

$3 3 2 2 x − 1 700x + 1600 0 = (x − 10x ) + (10x − 1 00x) − (1600x − 16000) = = x2(x − 10) + 10x (x− 10) − 1600(x − 1 0) = = (x − 10)(x2 + 10x − 1600).$

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

$√ --- Δ = 10 0+ 6 400 = 650 0 = (10 65 )2 √ --- √ --- √ --- √ --- x = −-1-0−-1-0--65 = − 5 − 5 65 lub x = −-10-+-10---65 = − 5 + 5 6 5 2 2$

Mamy więc nierówność

$( √ ---) ( √ --- ) x− (− 5− 5 65) x − (5 65− 5) (x− 10) < 0.$

Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości , rozwiązaniem tej nierówności jest przedział

$( √ --- ) 10 ,5 65− 5$

Odpowiedź:
Jak już wiemy z poprzedniego podpunktu, koszt 1 godziny pracy łodzi to
$2 f(x) = 2880-+ 9x-- x 50$

i dziedziną tej funkcji jest przedział . Szukamy jej wartości najmniejszej. Liczymy pochodną

$′ 2880- 9x- x3 −-8000- x3 −-203- f(x ) = − x2 + 25 = 9⋅ 25x 2 = 9⋅ 2 5x2 .$

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla i dodatnia dla . To oznacza, że funkcja maleje w przedziale i rośnie w przedziale . Najmniejszy koszt pracy statku otrzymamy więc dla prędkości . Koszt przepłynięcia jednej godziny jest wtedy równy

$28 80 9 ⋅400 f (20) = ----- + -------= 144 + 72 = 2 16 z ł. 2 0 50$

Odpowiedź: , koszt: 216 zł