/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Prędkość/2 ruchome obiekty

Zadanie nr 1718560

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwa samochody osobowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 480 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyjechał o pół godziny wcześniej niż samochód jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 16 km/h mniejszą. Samochody te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te samochody.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy prędkość pierwszego samochodu przez v . Oznaczmy ponadto przez t czas w jakim przejechał on połowę drogi, czyli 240 km. Mamy zatem

vt = 240.

Teraz pozostało zapisać informację o drugim samochodzie. Wiemy, że jechał on z prędkością v+ 16 oraz połowę drogi przejechał w czasie t− 0,5 (bo wyjechał pół godziny później). Zatem

(v+ 16)(t− 0,5) = 240 vt+ 16t− 0,5v− 8 = 240 .

Ponieważ vt = 240 mamy stąd

16t − 0,5v − 8 = 0 ⇒ v = 32t − 16.

Podstawiamy to wyrażenie w równości vt = 240 .

(32t − 16)t = 24 0 / : 16 2t2 − t− 1 5 = 0 2 Δ = 1+ 120 = 1 21 = 11 1-−-11- 1-+-1-1 t = 4 = − 2,5 ∨ t = 4 = 3.

Stąd v = 32t − 16 = 80 . Zatem drugi samochód jechał z prędkością 80 + 16 = 96 .

Sposób II

Jeżeli przez v oznaczymy prędkość pierwszego samochodu, to połowę drogi przebył on w czasie 240 v . Drugi samochód dotarł do połowy drogi po czasie -240- v+ 16 + 0,5 . Mamy więc równanie

240 240 ----= -------+ 0,5 /⋅ 2v(v + 16) v v+ 16 4 80(v + 16) = 48 0v+ v2 + 16v 2 v + 1 6v− 7680 = 0 Δ = 25 6+ 3 0720 = 30 976 = 17 62 v = −-16-−-176-= − 96 ∨ v = −-16+--176-= 80. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy v = 80 . Zatem drugi samochód jechał z prędkością v + 16 = 96 .  
Odpowiedź: 80 km/h oraz 96 km/h

Wersja PDF