/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Prędkość/2 ruchome obiekty

Zadanie nr 8089783

Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie po dwóch równoległych torach i spotykają się w miejscu S . Mijanie się pociągów trwa 20 s, a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce S jest o 25 sekund krótszy od czasu przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, że poruszają się ruchem jednostajnym.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy prędkość pierwszego pociągu przez x , prędkość drugiego przez y . Mijając się, każdy z pociągów pokonuje dystans (względem drugiego pociągu) równy sumie ich długości, czyli 490 + 210 = 700 metrów. Rzeczywiście, wygodnie jest myśleć o początku jednego z pociągów – najpierw musi dojechać do końca drugiego pociągu, a potem musi jeszcze przejechać dystans równy swojej własnej długości, żeby jego koniec dojechał do końca drugiego pociągu. Ponadto, pociągi mijając się jadą ze względną prędkością x + y , co daje nam równanie

20(x + y) = 70 0.

Inny sposób myślenia prowadzący do tego samego równania może być następujący: w momencie spotkania końce pociągów są od siebie odległe o 490 + 21 0 = 700 metrów, a mijanie zakończy się, gdy się pokryją. Ponieważ zbliżają się do siebie z prędkością x + y , otrzymujemy powyższe równanie.

Czas przejazdu pierwszego pociągu przez punkt S to 490 x , a czas przejazdu drugiego pociągu to 210 y . Daje to nam drugie równanie

490 210 ----= ----+ 2 5. x y

Mamy więc układ równań

{ 20(x + y) = 700 / : 20 49x0= 21y0 + 25 / ⋅ x5y { x + y = 35 98y = 4 2x+ 5xy.

Podstawiamy x = 35− y z pierwszego równania do drugiego i mamy

98y = 42 (35− y)+ 5(35− y)y 98y = 14 70− 42y + 175y − 5y 2 2 5y − 35y − 1470 = 0 / : 5 y2 − 7y− 294 = 0 Δ = 7 2 + 29 4⋅4 = 1225 = 3 52 7 − 35 7+ 35 y = -------= − 14 ∨ y = -------= 2 1. 2 2

Ujemne rozwiązania odrzucamy i mamy y = 21 . Zatem x = 35 − y = 1 4 .  
Odpowiedź: 14 m/s , 21 m/s

Wersja PDF
spinner