/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Prędkość/Zmiana wysokości

Zadanie nr 4743877

Gumową piłkę upuszczono z 81 metrów. Za każdym razem, po odbiciu piłka wznosi się na 23 wysokości, z której spadła.

  • Znajdź największą wysokość piłki między 5 i 6 uderzeniem o podłoże.
  • Jaką drogę pokona piłka zakładając, że odbija się ona 20 razy i po 20 odbiciu pozostaje na podłożu?
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Z opisu w treści zadania wynika, że kolejne maksymalne wysokości piłki tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a1 = 8 1 i ilorazie q = 2 3 . Trzeba jednak odrobinę uważać z indeksami, bo a1 odpowiada sytuacji wyjściowej, czyli 0 odbiciu. Wysokość po 1 odbiciu to a2 . Zatem maksymalna wysokość po 5 odbiciu to
    ( ) 5 5 2- 4 32- 32- a6 = a1q = 81 ⋅ 3 = 3 ⋅ 35 = 3 .

     
    Odpowiedź: 332m

  • Zgodnie z ustaleniami z poprzedniego podpunktu, mamy policzyć
    a1 + 2a2 + 2a3 + ⋅⋅⋅+ 2a19 + 2a 20 = 2S20 − a1 = ( 20 20 ) 1 − q20 1 − (23)20 3-3−220-- 2a1 ⋅------- − a1 = 2 ⋅81 ⋅------2---− 81 = 81 2 ⋅---1---− 1 = 1 − q 1 − 3 3 ( 2⋅3 20 − 221 ) 2 ⋅320 − 221 − 319 = 34 -----19-----− 1 = ---------15-------. 3 3

     
    Odpowiedź: 2⋅320− 221−319 -----315-----m

Wersja PDF