Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1112685

Woda może wpływać do basenu z dwóch kranów. Za pomocą pierwszego kranu basen można napełnić w czasie o 4 godziny dłuższym, a za pomocą drugiego kranu w czasie o 2,25 godziny dłuższym, niż przy napełnianiu basenu z wykorzystaniem obu kranów. W jakim czasie można napełnić ten basen odkręcając tylko pierwszy albo tylko drugi kran?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Powiedzmy, że napełnianie basenu kranami pierwszym i drugim trwa odpowiednio t1 i t2 godzin. Zatem w ciągu 1 godziny krany zapełniają odpowiednio 1 t1- i  1 t2 część objętości basenu. Jeżeli są odkręcone oba krany na raz, to w ciągu godziny napełniają

1-+ 1-= t1 +-t2- t1 t2 t1t2

część basenu. Zatem cały basen napełnią w ciągu

-1---= -t1t2-- t1+t2- t1 + t2 t1t2

(przez tyle trzeba pomnożyć t1+t2- t1t2 , żeby otrzymać 1, czyli cały basen).

Możemy teraz zapisać podane równania.

{ t2 = t1 − 1,7 5 t1 − 4 = -t1t2. t1+t2

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego i mamy

 t (t − 1 ,7 5) t1 − 4 = -1--1-------- 2t1 − 1,75 (t1 − 4 )(2t1 − 1,7 5) = t21 − 1 ,7 5t1 2 2 2t1 − 9,75t1 + 7 = t1 − 1 ,75t1 t2− 8t + 7 = 0 1 1 Δ = 64− 28 = 36 8 − 6 8+ 6 t1 = ------= 1 lub t1 = ------= 7. 2 2

Pierwsze rozwiązanie odrzucamy bo wtedy t < 0 2 i mamy t = 7 1 . Stąd t2 = 7 − 1,75 = 5,25 .

Sposób II

Oznaczmy przez t czas potrzebny na napełnienie basenu dwoma kranami. W takim razie pierwszy kran napełnia basen w czasie t + 4 , a drugi w czasie t + 2,25 . Wydajność (czyli ile wlewają wody np. w ciągu godziny) dwóch kranów jest sumą wydajności każdego z kranów, co daje równanie.

1-= --1--+ ---1---- / ⋅ t(t + 4)(t+ 2,25) t t+ 4 t+ 2,25 (t+ 4)(t+ 2,25 ) = t(t+ 2,25 )+ t(t+ 4) t2 + 6 ,25t+ 9 = t2 + 2 ,2 5t+ t2 + 4t 2 0 = t − 9 = (t− 3)(t+ 3 ).

Zatem t = 3 i krany napełniają basen odpowiednio w ciągu t+ 4 = 7 i t + 2,25 = 5 ,25 godziny.  
Odpowiedź: 7 godzin i 5,25 godziny

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!