Zadanie nr 3103695

Dwie pracownice urzędu pocztowego miały ostemplować pewną partię listów. Stemplowanie listów pierwsza urzędniczka rozpoczęła o godzinie 8:00, a druga o godzinie 9:00. O godzinie 11:00 panie stwierdziły, że pozostało im jeszcze do ostemplowania 45% listów. Po ukończeniu pracy okazało się, że każda z urzędniczek ostemplowała tyle samo listów. Oblicz, w ciągu ilu godzin każda z pań ostemplowałaby sama wszystkie listy.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy szukane czasy pracy urzędniczek przez i odpowiednio. Zatem w ciągu godziny panie stemplują odpowiednio t11 i 1t2 ogółu wszystkich listów.

Jeżeli oznaczymy przez całkowity czas pracy pierwszej z pań, to ponieważ panie ostemplowały tyle samo listów mamy

1 1 t − 1 t⋅-- = (t − 1) ⋅-- ⇒ t2 = ----- ⋅t1. t1 t2 t

Ponadto razem ostemplowały

t 1 = 2⋅ -- t1

wszystkich listów (dwa razy więcej niż pierwsza z nich). Zatem t1 = 2t .

O godzinie 11:00 panie miały ostemplowane

3 2 3 2 3 2t --+ --= -- + -t−-1--= --+ ---------= t1 t2 t1 -t-t1 t1 (t− 1)t1 3t− 3+ 2t 5t− 3 = ----------- = ---------. (t− 1)t1 (t − 1)t1

listów. Mamy zatem równanie

--5t−-3-- 2t (t − 1)t1 = 0,5 5⋅ t1 5t-−-3 = 1,1t t− 1 5t − 3 = 1,1t2 − 1,1t 2 1,1t − 6,1t+ 3 = 0 Δ = 37,21 − 13 ,2 = 24,01 = 4,92 6-,1+-4-,9 t = 2 ,2 = 5.

(Pomijamy ujemny pierwiastek.) Mamy więc t1 = 2t = 10 i

t-−-1 4- t2 = t t1 = 5 ⋅ 10 = 8.

Sposób II

Oznaczmy przez i czas (w godzinach) potrzebny odpowiednio pierwszej i drugiej urzędniczce na ostemplowanie wszystkich listów. W ciągu jednej godziny stemplują one więc odpowiednio 1 x i 1 y wszystkich listów. Wiemy, że do godziny 11 wykonały 55% całej pracy, czyli

3-+ 2-= 0 ,55 x y

(pierwsza pracowała przez 3 godziny, a druga przez 2).

Wiemy ponadto, że na koniec dnia ostemplowały tyle samo listów, czyli każda z nich ostemplowała połowę całości. Taka praca zajmuje pierwszej urzędniczce x 2 godzin, a drugiej y 2 godzin, więc