Zadanie nr 4533485

Woda może wpływać do basenu z dwóch kranów. Za pomocą pierwszego kranu basen można napełnić w czasie o 2 godziny dłuższym, a za pomocą drugiego kranu w czasie o 4,5 godziny dłuższym, niż przy napełnianiu basenu z wykorzystaniem obu kranów. W jakim czasie można napełnić ten basen odkręcając tylko pierwszy albo tylko drugi kran?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Powiedzmy, że napełnianie basenu kranami pierwszym i drugim trwa odpowiednio i godzin. Zatem w ciągu 1 godziny krany zapełniają odpowiednio 1 t1- i 1 t2 część objętości basenu. Jeżeli są odkręcone oba krany na raz, to w ciągu godziny napełniają

1-+ 1-= t1 +-t2- t1 t2 t1t2

część basenu. Zatem cały basen napełnią w ciągu

-1---= -t1t2-- t1+t2- t1 + t2 t1t2

(przez tyle trzeba pomnożyć t1+t2- t1t2 , żeby otrzymać 1, czyli cały basen).

Możemy teraz zapisać podane równania.

{ t2 = t1 + 2,5 t1 − 2 = -t1t2. t1+t2

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego i mamy

t (t + 2,5) t1 − 2 = -1--1------- 2t1 + 2 ,5 (t1 − 2)(2t1 + 2,5) = t21 + 2,5t1 2 2 2t1 − 1,5t1 − 5 = t1 + 2,5t1 t2 − 4t − 5 = 0 1 1 Δ = 16 + 20 = 36 t = 5. 1

Zatem t2 = 5+ 2,5 = 7,5 .

Sposób II

Oznaczmy przez czas potrzebny na napełnienie basenu dwoma kranami. W takim razie pierwszy kran napełnia basen w czasie t+ 2 , a drugi w czasie t + 4,5 . Wydajność (czyli ile wlewają wody np. w ciągu godziny) dwóch kranów jest sumą wydajności każdego z kranów, co daje równanie.