/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Własności liczb/Suma ciągu

Zadanie nr 5341512

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 8 dają resztę 3.

Rozwiązanie

Aby znaleźć najmniejszą i największą z tych liczb zauważmy, że 100/8 = 12,5 i 9 99/8 ≈ 124,9 . Zatem najmniejszą liczbą będzie a1 = 13 ⋅8+ 3 = 107 , a największą an = 1 24⋅8 + 3 = 995 .

Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 8. Obliczmy, ile ma on wyrazów. Ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

an = a1 + (n − 1)r 995 = 10 7+ (n− 1)⋅8 888 = 8(n − 1) / : 8 n− 1 = 111 ⇒ n = 11 2.

Interesująca nas suma jest więc równa

a + a 107 + 995 -1----n-⋅n = ----------⋅1 12 = 551 ⋅112 = 61712. 2 2

 
Odpowiedź: 61 712

Wersja PDF