Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5903515

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru {0,1,2,3} .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zajmijmy się najpierw liczbami, w których jedną z cyfr jest 0. Jeżeli 0 występuje dwukrotnie, to mamy 3 liczby o sumie

1 00+ 200 + 300 = 6 00.

Jeżeli 0 występuje tylko raz i pozostałe cyfry są równe to mamy 6 liczb o sumie

110+ 101 + 220 + 202 + 3 30+ 303 = 12 66.

Jeżeli natomiast 0 jest tylko raz, ale pozostałe cyfry są różne, to mamy 12 liczb o sumie

120 + 102 + 210 + 2 01+ 130 + 103 + 310 + 3 01+ 230 + 203 + 320 + 3 02 = 2532 .

Pozostały nam do rozpatrzenia liczby bez 0. Jeżeli wszystkie cyfry są równe to mamy 3 liczby o sumie

1 11+ 222 + 333 = 6 66.

Jeżeli wszystkie cyfry są różne to mamy 3! = 6 liczb o sumie

123+ 132 + 213 + 231 + 3 12+ 321 = 13 32.

Pozostała nam sytuacja trzech niezerowych liczb, z których dwie są równe. Można łatwo policzyć, że jest 3⋅2 ⋅3 = 1 8 takich liczb (wybieramy której cyfry ma nie być, potem wybieramy, która cyfra ma się powtarzać, a na koniec ustalamy, gdzie ma stać pojedyncza cyfra). Suma tych liczb jest równa

112+ 121 + 211 + 122 + 2 12+ 221+ 113+ 131 + 311 + 133 + 3 13+ 331+ 223+ 232 + 322 + 233 + 3 23+ 332 = 39 96.

Zatem suma wszystkich liczb jest równa

600 + 1266 + 25 32+ 666 + 1332 + 39 96 = 1039 2.

Sposób II

Policzmy najpierw sumę cyfr jedności wszystkich interesujących nas liczb. Dla każdej z cyfr 1,2,3 jest

3 ⋅4 = 12

liczb kończących się na tę cyfrę (bo cyfrę setek możemy wybrać na 3, a cyfrę dziesiątek na 4 sposoby). Liczby z zerem na końcu nas nie interesują, bo na razie liczymy tylko sumy cyfr jedności. Tak więc suma cyfr jedności jest równa

(1 + 2 + 3 )⋅12 = 72.

Dokładnie tak samo jest z sumą dziesiątek – jest

3 ⋅4 = 12

liczb z ustaloną cyfrą dziesiątek, więc suma dziesiątek z wszystkich liczb będzie równa

(1 + 2+ 3)⋅ 12⋅1 0 = 720.

Z cyframi setek jest odrobinę inaczej, bo teraz, przy ustalonej cyfrze setek, jest

4 ⋅4 = 16

liczb. Suma setek jest więc równa

(1+ 2+ 3)⋅1 6⋅10 0 = 9600 .

W takim razie suma wszystkich liczb to

72+ 720 + 9600 = 10392

 
Odpowiedź: 10392

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!