/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny/Udowodnij...

Zadanie nr 6452379

W trapezie równoramiennym przekątna ma długość d i tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze α . Wykaż, że pole tego trapezu jest równe d2 sin α cosα .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy sobie opisaną sytuację i oznaczmy podstawy trapezu przez a i b .

PIC

Ponieważ trapez jest równoramienny mamy

EB = AB-−--DC--= b−--a- 2 2 b-−-a- a+--b- AE = AB − BE = b − 2 = 2 .

Jeżeli popatrzymy na trójkąt prostokątny AEC to mamy

-CE- = sin α ⇒ CE = d sin α AC AE ---- = cos α ⇒ AE = dco sα. AC

Ponieważ zauważyliśmy, że AE = a+b- 2 , więc pole jest równe

P = AE ⋅CE = d 2sinα cos α.
Wersja PDF