/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny/Z przekątną

Zadanie nr 7848321

Przekątna trapezu równoramiennego dzieli jego kąt ostry na kąty o miarach α i β (α – kąt między przekątną i podstawą). Wyznacz stosunek pól trójkątów, na jakie przekątna ta podzieliła trapez.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od schematycznego rysunku.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że

∡ACB = 180∘ − α − α − β = 180∘ − 2α − β.

Zatem

P = 1AC ⋅BC ⋅sin∡ACB = ABC 2 1- ∘ 1- = 2AC ⋅BC ⋅sin(180 − 2α − β) = 2 AC ⋅ BC ⋅sin(2α + β ).

Z drugiej strony mamy

1 PACD = -AC ⋅AD ⋅ sin β. 2

Stąd

1 -PABC- = -2AC--⋅BC-⋅sin(2α-+--β) = sin(2-α+--β). PACD 12AC ⋅AD ⋅sinβ sinβ

Sposób II

Ze wzoru z sinusem na pole trójkąta mamy

1 -PABC- -2AB--⋅AC--sin-α- AB--sinα- PACD = 1AC ⋅AD sin β = AD sin β. 2

Pozostało wyliczyć stosunek AB- AD – zrobimy to korzystając z twierdzenia sinusów w trójkątach ABC i ADC .

AB AB AB 2R = ---------- = -------∘-----------= ------------ sin ∡ACB sin (180 − 2α − β ) sin(2α + β ) ----AD----- -AD-- 2R = sin ∡ACD = sin α AB-- = 2R-sin-(2α-+-β)-= sin(2α-+-β)-, AD 2R sin α sin α

gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trapezie ABCD (a więc również na każdym z trójkątów ABC i CAD ). Mamy zatem

P AB sin α sin(2α + β) sin α sin(2α + β) --ABC- = --------- = -----------------= ------------ PACD AD sin β sin βsin α sin β

Sposób III

Poprzednie rozwiązanie można odrobinę skrócić, jeżeli skorzysta się z bardziej wyspecjalizowanego wzoru na pole trójkąta, np.

1 sin βsin(α + β ) P = -a2---------------- = 2R 2sin αsin βsin(α + β ), 2 sin α

gdzie wszystkie literki mają standardowe znaczenie.

Powiedzmy, że skorzystamy z drugiego wzoru. Jak już wcześniej zauważyliśmy, promienie okręgów opisanych na trójkątach ABC i ACD są równe (bo są równe promieniowi okręgu opisanego na całym trapezie). Zatem

PABC 2R 2sinα sin(α + β) sin (2α + β) sin(2α + β) ------= --------------------------------= ------------. PACD sin αsin βsin(α + β ) sin β

 
Odpowiedź: sin(2α+ β) ---sinβ--

Wersja PDF