Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9169248

W trapezie równoramiennym przekątna ma długość d i tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze α . Oblicz pole tego trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Narysujmy sobie opisaną sytuację i oznaczmy podstawy trapezu przez a i b .


PIC


Sposób I

Ponieważ trapez jest równoramienny mamy

 AB − DC b− a EB = ----------= ------ 2 2 AE = AB − BE = b − b-−-a-= a+--b. 2 2

Jeżeli popatrzymy na trójkąt prostokątny AEC to mamy

 CE ---- = sin α ⇒ CE = d sin α AC AE-- AC = cos α ⇒ AE = dco sα.

Ponieważ zauważyliśmy, że AE = a+2b- , więc pole jest równe

P = AE ⋅ CE = d2sin αco sα = 1d2 sin 2α. 2

Sposób II

Niech F będzie takim punktem na przedłużeniu podstawy AB , że BF = CD = a . Ponieważ

 ∘ ∡CBF = 18 0 − ∡ABC = ∡ADC ,

trójkąty ADC i CBF są przystające. Zatem CF = d i BF C = α . Patrzymy teraz na trójkąt AF C . Jest to trójkąt równoramienny i jego pole jest równe polu trapezu, zatem ze wzoru z sinusem na pole trójkąta mamy

P = P = 1-⋅CA ⋅CF sin∡ACF = 1-d2sin(180∘ − 2α) = 1d2 sin 2α . ABCD AFC 2 2 2

 
Odpowiedź:  2 1 2 d sin α cosα = 2d sin 2α

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!